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Den Abstand zwischen zwei Punkten $P$ und $Q$ bestimmst du mit der Abstandsformel $d(P;Q)=|\vec{p}-\vec{q}|(=|\vec{q}-\vec{p}|)$ aus Begriffe und Formeln.
Beispiel
Die Punkte $P(1|2|3)$ und $Q(3|2|1)$ haben den Abstand
\[d(P;Q)=\left|\left(\begin{array}{r}1\\2\\3\end{array}\right)
-\left(\begin{array}{r}3\\2\\1\end{array}\right)\right|
=\left|\left(\begin{array}{r}-2\\0\\2\end{array}\right)\right|=
\sqrt{(-2)^2+0^2+2^2}=\sqrt{8}.\]
Für den Abstand zwischen einem Punkt $P$ und einer Ebene $E$
brauchst du zuerst die Hessesche Normalform der Ebene. Da setzt Du
den Punkt ein und nimmst
als Abstand den Betrag vom Ergebnis.
Das entsrpicht dann der Formel
$d(P;E)=\left|\frac{ap_1+bp_2+cp_3+d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\right|$.
Beispiel
Um den Abstand von $P(1|1|0)$ zu $E:-2x_1+x_2-3x_3-5=0$ zu berechnen, wird
$P$ in die Hessesche Normalform eingesetzt und davon der Betrag genommen:
\[d(P;E)=\left|\frac{(-2)\cdot 1+ 1-3\cdot 0-5}{\sqrt{14}}\right|
=\left|-\frac{6}{\sqrt{14}}\right|=\frac{6}{\sqrt{14}}.\]
Hier gibt es wie beim Abstand zwischen Punkt und Ebene eine Formel
(s. Begriffe und Formeln),
die durch allgemeine Rechnung
hergeleitet wird. du solltest sie aber nur als Probe für dein
Ergebnis verwenden,
und den Lösungsweg immer vorrechnen.
Dabei stellst du zuerst die Normalenform einer Hilfsebene $H$
auf, wobei du als Normalenvektor den Richtungsvektor $\vec{v}$ der
Geraden $g$ verwendest, und als Stützvektor den vorgegebenen Punkt
$P$. Danach wird $g$ mit $H$ geschnitten. Der gesuchte Abstand ist
dann der Abstand zwischen $P$ und dem Schnittpunkt $S$.
Beispiel
Gegeben sind
$g:\vec{x}=\left(\begin{array}{r}1\\4\\-2\end{array}\right)
+t\left(\begin{array}{r}-1\\1\\1\end{array}\right)
\quad\mbox{und}\quad P(2|0|3).$
Die Hilfsebene hat dann die Gleichung
\[\left(\begin{array}{r}-1\\1\\1\end{array}\right)\bullet
\left[\vec{x}-\left(\begin{array}{r}2\\0\\3\end{array}\right)\right]=0,
\mbox{ bzw.}\quad-x_1+x_2+x_3-1=0.\]
Der Schnittpunkt von dieser
Ebene mit $g$ wird ausgerechnet durch Einsetzen von $x_1$, $x_2$
und $x_3$ aus der Geradengleichung in die Koordinatenform von $E$
(vgl. Gerade - Ebene).
Das ergibt dann nach $t$
aufgelöst $t=0$ und wieder in die Geradengleichung eingesetzt den
Schnittpunkt $S(1|4|-2)$. Der Abstand $d(P;g)$ beträgt jetzt also
\[d(P;g)=d(P;S)=\left|\left(\begin{array}{r}1\\4\\-2\end{array}\right)
-\left(\begin{array}{r}2\\0\\3\end{array}\right)\right|
=\left|\left(\begin{array}{r}-1\\4\\-5\end{array}\right)\right|
=\sqrt{42}.\] Mit der Abstandsformel aus
Begriffe und Formeln
kann dieses Ergebnis nochmal bestätigt werden: Für
$\frac{\vec{v}\bullet(\vec{p}-\vec{u})} {\vec{v}^2}$ rechnet man
dabei den Wert 0 aus, und weiter
\[d(P;g)=\left|\left(\begin{array}{r}1\\4\\-2\end{array}\right)
+0\cdot \left(\begin{array}{r}-1\\1\\1\end{array}\right)-
\left(\begin{array}{r}2\\0\\3\end{array}\right)\right|
=\left|\left(\begin{array}{r}-1\\4\\-5\end{array}\right)\right|
=\sqrt{42}.\]
1. Fall: die Geraden haben linear abhängige Richtungsvektoren.
In diesem Fall bestimmst du den Abstand zwischen einer der beiden Geraden und dem Aufpunkt/Stützvektor
der anderen Geraden, so wie in Abstand Punkt-Gerade
beschrieben.
Ergibt sich ein Abstand von 0, dann sind die Geraden identisch, ist der Abstand ungleich 0,
dann sind sie parallel.
2. Fall: die Geraden haben linear unabhängige Richtungsvektoren.
In diesem Fall ist die Abstandsformel
\[d(g;h)=\frac{|(\vec{v_1}\bigotimes\vec{v_2})\bullet(\vec{u_1}-\vec{u_2})|}{|\vec{v_1}\bigotimes\vec{v_2}|}\]
aus Begriffe und Formeln
die einfachste Berechnung.
Dabei sind $\vec{u_1}$ und $\vec{u_2}$ die Stützvektoren
und $\vec{v_1}$ und $\vec{v_2}$ die Richtungsvektoren der zwei Geraden.
Ergibt sich hier ein Abstand von 0, dann haben die Geraden einen Schnittpunkt,
ist der Abstand ungleich 0, dann sind sie windschief.
Beispiel 1
Die Geraden
$g_1:\vec{x}=\left(\begin{array}{r}2\\0\\3\end{array}\right)+
s\left(\begin{array}{r}1\\-1\\-1\end{array}\right) $ und
$g_2:\vec{x}=\left(\begin{array}{r}1\\4\\-2\end{array}\right)+
t\left(\begin{array}{r}-1\\1\\1\end{array}\right)$
haben linear abhängige Richtungsvektoren.
Wir bestimmen den Abstand vom Aufpunkt $P(2|0|3))$ von $g_1$ zur Geraden $g_2$. Nach der Rechnung
im Beispiel von Abstand Punkt-Gerade
ergibt sich dabei $d(g_1;g_2) = d(P;g_2) = \sqrt{42}$
Beispiel 2
Die Geraden
$g_1:\vec{x}=\left(\begin{array}{r}1\\5\\2\end{array}\right)+
s\left(\begin{array}{r}2\\-1\\-2\end{array}\right) $ und
$g_2:\vec{x}=\left(\begin{array}{r}5\\9\\1\end{array}\right)+
t\left(\begin{array}{r}0\\-5\\3\end{array}\right)$
haben linear unabhängige Richtungsvektoren.
Mit $\vec{v_1}\bigotimes\vec{v_2}
=\left(\begin{array}{r}2\\-1\\-2\end{array}\right)\bigotimes\left(\begin{array}{r}0\\-5\\3\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{r}-13\\-6\\-10\end{array}\right)$
und $\vec{u_1}-\vec{u_2}
= \vec{x}=\left(\begin{array}{r}1\\5\\2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{r}5\\9\\1\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{r}-4\\-4\\1\end{array}\right)$
erhalten wir für den Abstand der Geraden:
\[d(g_1;g_2)=\frac{\left|\left(\begin{array}{r}-13\\-6\\-10\end{array}\right)
\bullet\left(\begin{array}{r}-4\\-4\\1\end{array}\right)\right|}
{\left|\left(\begin{array}{r}-13\\-6\\-10\end{array}\right)\right|}=
\frac{|(-13)(-4)+(-6)(-4)+(-10)|}{\sqrt{(-13)^2+(-6)^2+(-10)^2}}=\frac{66}{\sqrt{305}}\]
Sind eine Gerade und eine Ebene parallel, dann haben sie überall den gleichen Abstand. Diesen berechnest du, indem du den Abstand von der Ebene zum Aufpunkt der Geraden berechnest, so wie in Abstand Punkt-Ebene beschrieben.
Sind zwei Ebenen parallel zueinander, dann haben sie ebenfalls überall den gleichen Abstand. Du ermittelst ihn, indem du einen beliebigen Punkt auf einer Ebene wählst und mit Abstand Punkt-Ebene den Abstand von diesem Punkt zur anderen Ebene berechnest.