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Sind zwei Punkte $A$ und $B$ gegeben, dann hat die Gerade $g$ durch $A$ und $B$ als mögliche Gleichung \[g:\quad {x}=\vec{a}+t(\vec{b}-\vec{a}).\] Statt $\vec{a}$ kannst Du als Stützvektor wahlweise auch $\vec{b}$ verwenden und statt $\vec{b}-\vec{a}$ als Richtungsvektor auch $\vec{a}-\vec{b}$.
Beispiel
Mit $A(1|2|-1)\mbox{ und }B(2|0|3)$ erhält man
für $g$ z.B. die Gleichung
\[g:\quad \vec{x}=\left(\begin{array}{r}1\\2\\-1\\ \end{array}\right)
+t\left[\left(\begin{array}{r}2\\0\\3\\ \end{array}\right)-
\left(\begin{array}{r}1\\2\\-1\\ \end{array}\right)\right]
=\left(\begin{array}{r}1\\2\\-1\\ \end{array}\right)
+t\left(\begin{array}{r}1\\-2\\4\\ \end{array}\right).\]
Die Ebene $E$, die durch drei vorgegebene Punkte $A$, $B$ und $C$ geht, hat die mögliche Parameterform \[E:\quad \vec{x}=\vec{a}+s(\vec{b}-\vec{a})+t(\vec{c}-\vec{a}).\] Wie bei der Parameterform von Geraden kannst Du hier auch $\vec{b}$ oder $\vec{c}$ als Stützvektoren wählen und als Richtungsvektoren irgendwelche zwei Differenzen der drei Vektoren.
Beispiel
Aus den drei Punkten $A(1|0|1), B(2|-1|1)$ und
$C(-3|0|0)$ erhält man für $E$ beispielsweise die Parameterform
\begin{eqnarray}
E:\quad \vec{x}&=&\left(\begin{array}{r}1\\0\\1\\ \end{array}\right)
+s\left[\left(\begin{array}{r}2\\-1\\1\\ \end{array}\right)-
\left(\begin{array}{r}1\\0\\1\\ \end{array}\right)\right]
+t\left[\left(\begin{array}{r}-3\\0\\0\\ \end{array}\right)-
\left(\begin{array}{r}1\\0\\1\\ \end{array}\right)\right]\\
&=&\left(\begin{array}{r}1\\0\\1\\ \end{array}\right)
+s\left(\begin{array}{r}1\\-1\\0\\ \end{array}\right)
+t\left(\begin{array}{r}-4\\0\\-1\\ \end{array}\right).\\
\end{eqnarray}
Die Ebene $E$, die die Gerade $g:\vec{x}=\vec{u}+t\vec{v}$ und den Punkt $A\not\in g$ enthält, hat als Parameterform beispielsweise \[E:\quad \vec{x}=\vec{a}+s(\vec{u}-\vec{a})+t\vec{v}.\] Alternativ dazu kannst Du als Stützvektor auch $\vec{u}$ benützen und statt dem ersten Richtungsvektor auch $\vec{a}-\vec{u}$. Der Richtungsvektor $\vec{v}$ aus der Geraden muss aber auf jeden Fall verwendet werden.
Beispiel
Mit $A(2|2|-1)$ und $g: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}5\\4\\-14\\
\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{r}1\\0\\-2\\ \end{array}\right) $
ergibt sich für $E$:
\begin{eqnarray}
E:\quad \vec{x}&=&\left(\begin{array}{r}2\\2\\-1\\ \end{array}\right)
+s\left[\left(\begin{array}{r}5\\4\\-14\\ \end{array}\right)-
\left(\begin{array}{r}2\\2\\-1\\ \end{array}\right) \right]+
t\left(\begin{array}{r}1\\0\\-2\\ \end{array}\right)\\
&=&\left(\begin{array}{r}2\\2\\-1\\ \end{array}\right)+
s\left(\begin{array}{r}3\\2\\-13\\ \end{array}\right)+
t\left(\begin{array}{r}1\\0\\-2\\ \end{array}\right).
\end{eqnarray}
Wenn sich zwei Geraden $g_1:\vec{x}=\vec{u_1}+s\vec{v_1}$ und $g_2:\vec{x}=\vec{u_2}+t\vec{v_2}$ schneiden oder parallel sind, dann spannen sie eine Ebene auf. Die Parameterform kannst Du z.B. so aufstellen: \[E:\vec{x}=\vec{u_1}+s\vec{v_1}+t\vec{w}.\] Dabei hängst Du also an die Gleichung von $g_1$ nur noch $t\vec{w}$ hinten an, wobei $\vec{w}$ entweder der Richtungsvektor $\vec{v_2}$ von $g_2$ ist falls sich die Geraden schneiden oder der Vektor $\vec{u_2}- \vec{u_1}$ (bzw. $\vec{u_1}- \vec{u_2}$, das ist egal) falls die Geraden parallel sind. Genausogut kannst Du $t\vec{w}$ auch an die Geradengleichung von $g_2$ anfügen, wobei im Fall zweier sich schneidender Geraden entsprechend $\vec{w} = \vec{v_1}$ gilt.
Beispiel 1
Die beiden Geraden haben die Gleichungen
$g_1:\quad\vec{x}=\left(\begin{array}{r}5\\2\\-1\\
\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{r}-1\\0\\4\\
\end{array}\right)\quad\mbox{und} \quad
g_2:\quad\vec{x}=\left(\begin{array}{r}5\\2\\-1\\
\end{array}\right)+
t\left(\begin{array}{r}2\\-5\\3\end{array}\right)$.
Diese schneiden sich, was man am gemeinsamen Stützvektor und den
linear unabhängigen Richtungsvektoren erkennen kann. Die
aufgespannte Ebene hat also z.B. die Parameterform
\begin{eqnarray}
E:\quad\vec{x}&=&\left(\begin{array}{r}5\\2\\-1\\
\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{r}-1\\0\\4\\
\end{array}\right)+
t\left(\begin{array}{r}2\\-5\\3\end{array}\right).
\end{eqnarray}
Beispiel 2
Die folgenden Geraden sind parallel:
$g_3:\quad\vec{x}=\left(\begin{array}{r}1\\-5\\0\\
\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{r}-2\\4\\6\\
\end{array}\right);\quad
g_4:\quad\vec{x}=\left(\begin{array}{r}4\\4\\-1\\
\end{array}\right)+
t\left(\begin{array}{r}1\\-2\\-3\end{array}\right)$.
Als Paramterform der aufgespannten Ebene ergibt sich z.B.:
\begin{eqnarray}
E:\quad \vec{x}&=&\left(\begin{array}{r}1\\-5\\0\\
\end{array}\right)
+s\left(\begin{array}{r}-2\\4\\6\\
\end{array}\right)
+t\left[\left(\begin{array}{r}4\\4\\-1\\
\end{array}\right)-
\left(\begin{array}{r}1\\-5\\0\\
\end{array}\right)
\right]\\
&=&\left(\begin{array}{r}1\\-5\\0\\
\end{array}\right)+
s\left(\begin{array}{r}-2\\4\\6\\
\end{array}\right)+
t\left(\begin{array}{r}3\\9\\-1\\
\end{array}\right).
\end{eqnarray}
Die $x_1$-Achse geht durch den Ursprung und hat beispielsweise den Richtungsvektor $\left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right)$. Die Parameterform kann dann also so aussehen: \[\vec{x}=\left(\begin{array}{r}0\\0\\0\end{array}\right) +t\left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right) = t\left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right).\] Das funktioniert natürlich bei der $x_2$- oder $x_3$-Achse genauso.
Mit dem Ursprung als Stützvektor und $\left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right)$ bzw. $\left(\begin{array}{r}0\\1\\0\end{array}\right)$ als Richtungsvektoren bekommst Du eine Parameterform der $x_1$-$x_2$-Ebene: \[\vec{x}=s\left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right)+ t\left(\begin{array}{r}0\\1\\0\end{array}\right).\] Daraus kannst Du $x_3=0$ ablesen (siehe auch Parameterform in Koordinatenform ), das ist dann auch schon die Koordinatenform der $x_1$-$x_2$-Ebene.
Der Normalenvektor $\vec{n}$ der Ebene, die senkrecht zu zwei vorgegebenen Ebenen sein soll, ergibt sich aus dem Kreuzprodukt ihrer Normalenvektoren (ist also eine der gegebenen Ebenen in Parameterform gegeben, musst du zuerst ihren Normalenvektor ermitteln, s. 2.2.1). Mit dem gegebenen Punkt lässt sich dann die Normalenform bzw. Koordinatengleichung der Ebene aufstellen.
Beispiel
Durch den Punkt $P(-2|1|0)$ soll eine Ebene $E$
gelegt werden, die zu den zwei
Ebenen
$E_1: 3x_1+2x_2-x_3+4=0 \mbox{ und }
E_2: -4x_1+5x_2=0$
orthogonal ist. Für das Kreuzprodukt der Normalenvektoren ergibt
sich der Normalenvektor der gesuchten Ebene:
\[\vec{n}=\left(\begin{array}{r}3\\2\\-1 \end{array}\right)\bigotimes
\left(\begin{array}{r}-4\\5\\0 \end{array}\right) =
\left(\begin{array}{c}5\\4\\23\end{array}\right)
\]
Wichtig: Auch hier die Probe machen, und überprüfen, ob das
Skalarprodukt von $\vec{n}$ mit beiden Normalenvektoren den Wert
null ergibt! Das ist hier der Fall, und wir erhalten für die Ebene
die Gleichung:
\[E:\quad \left(\begin{array}{c}5\\4\\23\end{array}\right)
\bullet\left[
\vec{x}-\left(\begin{array}{r}-2\\1\\0
\end{array}\right) \right]=0\quad\Longleftrightarrow\quad 5x_1+4x_2+23x_3+6=0.\]
Bei vielen Aufgaben kommt es vor, dass Du zu einer Geraden $g:\vec{x}=\vec{u} +t\vec{v}$ und einem Punkt $P$ eine Ebene finden musst, die senkrecht durch die Gerade geht, und den Punkt enthält (z.B. bei der Spiegelung von einem Punkt an einer Geraden, und beim Abstand zwischen Punkt und Gerade). Die Normalenform der Ebene kannst Du aufstellen, indem Du $\vec{v}$ als Normalenvektor von $E$ verwendest und $\vec{p}$ als Stützvektor: \[E:\quad \vec{v}\bullet (\vec{x}-\vec{p})=0.\]
Beispiel
Die Ebene durch $P(2|1|5)$ senkrecht zur Geraden
$g:\vec{x}=\left(\begin{array}{r}3\\0\\-1\end{array}\right)+
t\left(\begin{array}{r}1\\1\\-2 \end{array}\right)$
hat die Gleichung
\[E:\left(\begin{array}{r}1\\1\\-2 \end{array}\right)\bullet
\left[\vec{x}-\left(\begin{array}{c}2\\1\\5 \end{array}\right)\right]=0
\quad\Longleftrightarrow\quad x_1+x_2-2x_3+7=0.\]
Eine Lotgerade durch einen Punkt auf eine Ebene ist eine Gerade, die die
Ebene senkrecht schneidet.
Lotgeraden sind Hilfsmittel beim Spiegeln eines Punktes an einer Ebene
(s. Punkt an Ebene)
und beim Schneiden von Kugeln mit Ebenen (s.
Ebene - Kugel).
Die Lotgerade durch einen Punkt $P$ auf eine Ebene $E$ hat $\vec{p}$ als
Stützvektor und den Normalenvektor von $E$ als Richtungsvektor.
Beispiel
Die Lotgerade durch $P(6|-2|4)$ auf die Ebene $E: 7x_1-2x_2+x_3+4=0$
hat die Gleichung
\[l:\quad\vec{x}=\left(\begin{array}{r}6\\-2\\4\end{array}\right)
+t\left(\begin{array}{r}7\\-2\\1\end{array}\right).\]
Eine Tangentialebene an eine Kugel ist eine Ebene, die mit dieser genau
einen Punkt gemeinsam hat, dieser heißt dann Berührpunkt.
Ist $P$ ein Punkt auf oder innerhalb einer Kugel mit dem
Mittelpunkt $M$, dann lässt sich daraus die Gleichung der
Tangentialebene an die Kugel durch den Berührpunkt $P$ aufstellen
(falls $P$ auf der Kugel liegt) oder die Gleichung der Ebene, die
die Kugel in einem Kreis mit dem Mittelpunkt $P$ schneidet (falls
$P$ innerhalb der Kugel liegt). In beiden Fällen hat die Ebene $E$
die Normalenform
\[E:\quad \vec{n}\bullet(\vec{x}-\vec{p})=0\mbox{ mit dem Normalenvektor }
\vec{n}=\vec{m}-\vec{p}.\]
Daraus kannst Du Dir dann
nach Normalenform in
Koordinatenform die Koordinatenform herleiten.
Beispiel
$Q(0|1|4)$ und $P(2|0|4)$ liegen nach
Punkt - Kugel
auf bzw. in der Kugel
$K$ mit der Gleichung
\[K:\quad(x_1-2)^2+(x_2+1)^2+(x_3-5)^2=9.\]
Für die Normalenvektoren $\vec{n}_1$ und $\vec{n}_2$ der
Tangentialebene $T$ durch $Q$ und der Schnittkreisebene $E$ durch
$P$ wählen wir
\[\vec{n}_1=\vec{m}-\vec{q}=
\left(\begin{array}{r}2\\-2\\1
\end{array}\right)\quad\mbox{und} \quad \vec{n}_2=\vec{m}-\vec{p}=
\left(\begin{array}{r}0\\-1\\1
\end{array}\right).\] Die Tangentialebene $T$ durch den
Berührpunkt $Q$ hat deshalb die Gleichung
\[T:\quad \left(\begin{array}{r}2\\-2\\1 \end{array}\right)
\bullet \left[\vec{x}-\left(\begin{array}{c}0\\1\\4
\end{array}\right) \right]=0\quad\Longleftrightarrow\quad
2x_1-2x_2+x_3-2=0,\] und die Schnittkreisebene $E$ durch den
Schnittkreismittelpunkt $P$ sieht so aus:
\[E:\quad \left(\begin{array}{r}0\\-1\\1 \end{array}\right)
\bullet \left[\vec{x}-\left(\begin{array}{c}2\\0\\4 \end{array}\right)
\right]=0\quad\Longleftrightarrow\quad -x_2+x_3-4=0.\]