Beim Lösen von Gleichungen gehst du am besten systematisch nach folgendem Plan vor:
Lineare Gleichungen sind Gleichungen, die auf die Form \[ax+b=0\quad(a\neq 0)\] gebracht werden können. Sie haben die Lösung $x=\frac{-b}{a}$.
Beispiel:
Die Gleichungen $-2x+3=0$ und $5x+6=0$ haben
die Lösungen $x=\frac{-3}{-2}=\frac{3}{2}$, bzw.
$x=\frac{-6}{5}=-\frac{6}{5}$.
Gleichungen, die auf die Form \[ax^2+bx+c=0\quad(a\neq0)\] gebracht werden können, heißen quadratische Gleichungen. Sie können mit der Lösungsformel \[x_{1/2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\] nach $x$ aufgelöst werden, falls der Ausdruck $b^2-4ac$ (die sogenannte Diskriminante $D$) unter der Wurzel nicht negativ ist. Dabei gibt es zwei Lösungen $x_1$ und $x_2$ für $D>0$, und nur eine Lösung für $x$, wenn $D=0$ ist. Bei negativer Diskriminante hat die Gleichung keine Lösung. du musst beim Einsetzen von den Zahlen $a$, $b$ und $c$ in die Lösungsformel unbedingt ihre Vorzeichen richtig beachten, deshalb kommen in den Beispielen gleich viele Minuszeichen vor. Wenn Brüche vorkommen ist es gut, die Gleichung zuerst mit dem Hauptnenner durchzumultiplizieren, dann ist die Anwendung der Lösungsformel weniger fehlerträchtig.
Beispiel 1:
Für die Gleichung $-2x^2+11x-15=0$ bekommen wir
die Lösungen
\[x_{1/2}=\frac{-11\pm\sqrt{11^2-4\cdot(-2)\cdot(-15)}}{2\cdot(-2)}
=\frac{-11\pm\sqrt{1}}{-4},\]
also $x_1=\frac{-11+1}{-4}=\frac{5}{2}$ und $x_2=\frac{-11-1}{-4}=3$.
Beispiel 2:
Die Gleichung $\frac{4}{9}x^2-\frac{2}{3}x+\frac{1}{4}=0$ wird
zuerst mit dem Hauptnenner $36$ durchmultipliziert, so dass wir
die Gleichung $16x^2-24x+9=0$ bekommen, die dann reif für die
Lösungsformel ist:
\[x_{1/2}=\frac{-(-24)\pm\sqrt{(-24)^2-4\cdot16\cdot9}}{2\cdot16}
=\frac{24\pm\sqrt{0}}{32}.\]
In diesem Fall ist also die Diskriminante $0$, und es gibt nur die
eine Lösung
$x_1=\frac{24}{32}=\frac{3}{4}$.
Beispiel 3:
Als Letztes noch ein Beispiel für eine quadratische Gleichung, die
keine Lösung hat: $-x^2-2x-5=0$. Dabei ergibt die Formel
\[x_{1/2}=\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot(-1)\cdot(-5)}}{2\cdot(-1)}=
\frac{2\pm\sqrt{-16}}{-2},\] mit negativer Diskriminante $D=-16$.
Das bedeutet, dass die Gleichung keine reellen Lösungen hat.
Biquadratische Gleichungen haben die Form
\[ax^4+bx^2+c=0\]
und lassen sich durch die Substitution $u=x^2$ auf die
quadratische Gleichung $au^2+bu+c=0$ zurückführen. du löst also
zuerst diese Gleichung mit Hilfe der
Lösungsformel für quadratische Gleichungen.
Gibt es dabei keine Lösung, dann
hat auch die biquadratische Ausgangsgleichung keine.
Bekommst du mit der Lösungsformel eine Lösung $u_1$, dann folgen
daraus wegen $u=x^2$ die Lösungen $x_{1/2}=\pm\sqrt{u_1}$ falls
$u_1>0$, $x_1=\sqrt0=0$ für $u_1=0$, oder es gibt
gar keine Lösung für $x$ für den Fall $u_1\lt 0$.
Wenn die Lösungsformel zwei Lösungen $u_1$ und $u_2$ hat, bekommst
du entsprechend für jede davon keine, eine oder zwei Lösungen für $x$.
Beispiel 1:
Wir berechnen die Lösungen der Gleichung
$-x^4-6x^2+27=0$ und
Mit $u=x^2$ bekommen wir aus der ersten Gleichung
$-u^2-6u+27=0$.
Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen ergibt dann
$u_{1/2}=\frac{-(-6)\pm\sqrt{(-6)^2-4\cdot(-1)\cdot 27}}{2(-1)}$,
also $u_1=\frac{6+\sqrt{144}}{-2}=-9$ und
$u_2=\frac{6-\sqrt{144}}{-2}=3$. Daraus folgen dann aus $u_1=x^2$
keine Lösungen für $x$, wegen $u_1=-9\lt 0$.
Beispiel 2:
Wir berechnen die Lösungen der Gleichung
$2x^4-11x^2+12=0$.
Aus$u_2=x^2$ folgen für $x$ die Lösungen $x_{1/2}=\pm\sqrt{3}$.
Mit $u=x^2$ bei der zweiten Gleichung gilt $2u^2-11u+12=0$. Daraus folgt
$u_{1/2}=\frac{-(-11)\pm\sqrt{(-11)^2-4\cdot2\cdot 12}}{2\cdot2}$,
also $u_1=\frac{11+\sqrt{25}}{4}=4$ und
$u_2=\frac{11-\sqrt{25}}{4}=\frac{3}{2}$. Für $x$ gibt es dann
vier Lösungen: $x_{1/2}=\pm\sqrt4=\pm2$ und
$x_{3/4}=\pm\sqrt{\frac{3}{2}}$.
Potenzgleichungen sind Gleichungen der Form
\[x^n-c=0\Longleftrightarrow x^n=c\]
und können durch Wurzelziehen gelöst werden. Dabei gibt es ein
paar Fälle
zu unterscheiden.
Bei geraden Exponenten $n$ gibt es die Lösungen
$x_{1/2}=\pm\sqrt[n]c$ für
$c\geq 0$ und keine Lösung für $c\lt 0$.
Bei ungeraden Exponenten gibt es immer genau eine Lösung, nämlich
entweder $x=\sqrt[n]c$ für $c\geq 0$, oder $x=-\sqrt[n]{|c|}$ für $c\lt 0$.
Beispiele:
\begin{eqnarray}
x^2 & =\sqrt5&\Longleftrightarrow x_{1/2}=\pm\sqrt{\sqrt5}=\pm\sqrt[4]5\\
x^4&=-3&\Longleftrightarrow\mbox{Es gibt keine Lösung}\\
x^3&=\frac{8}{27}&\Longleftrightarrow x=\sqrt[3]{\frac{8}{27}}=\frac{2}{3}\\
x^5&=-64&\Longleftrightarrow x=-\sqrt[5]{|-64|}=-\sqrt[5]{64}=-2\sqrt[5]2\\
\end{eqnarray}
Produktgleichungen haben die Form \[T_1(x)\cdot T_2(x)=0.\] Daraus folgt $T_1(x)=0$ oder $T_2(x)=0$. Alle Lösungen ergeben sich also aus den Lösungen der beiden Einzelgleichungen. Das Entsprechende gilt natürlich auch für Produkte aus mehreren Termen.
Beispiel:
Aus $x(2x-5)^2(x^2+5x+7)=0$ folgt $x=0$ oder
$x=\frac{5}{2}$. Das sind alle Lösungen, da die Gleichung $x^2+5x+7=0$
keine Lösung hat (siehe Quadratische Gleichungen ).
Eine Gleichung der Form \[a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0=0\] nennt man algebraische Gleichung vom Grad $n$, falls $n$ der größte vorkommende Exponent von $x$ ist. Wenn das Absolutglied $a_0$ fehlt (d.h. es gilt $a_0=0$), dann können wir die Gleichung umformen, indem wir $x$ ausklammern. Dann sieht die Gleichung so aus: \[x\left(a_nx^{n-1}+a_{n-1}x^{n-2}+...+a_1\right)=0.\] Diese Gleichung hat auf jeden Fall die Lösung $x=0$. Um alle Lösungen zu bekommen, musst du außerdem noch den Term in der Klammer 0 setzen und nach $x$ auflösen, wobei diese Gleichung um einen Grad kleiner ist.
Beispiel:
Die Lösungen der Gleichung $2x^3+9x^2+10x=0$
bekommen wir durch Ausklammern: $x(2x^2+9x+10)=0$. Daraus folgt
$x_1=0$ als erste Lösung. Die anderen bekommen wir aus der
Gleichung $2x^2+9x+10=0$, welche die Lösungen $x_2=-2$ und $x_3=-\frac{5}{2}$ liefert
(siehe Quadratische Gleichungen).
Musst du eine algebraische Gleichung \[a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0=0\] lösen, die nicht linear, quadratisch, biquadratisch oder ohne Absolutglied ist und die auch keine Potenzgleichung darstellt, dann gibt es nur noch eine Möglichkeit. du musst dann mindestens eine Lösung $x_1$ entweder schon kennen oder durch Probieren (Einsetzen von $x=1,-1,2,-2,3,-3,...$) erraten. Mit Hilfe von dieser Lösung erhältst du durch Polynomdivision auch noch die restlichen Lösungen. Nimmst du nämlich die bekannte Lösung $x_1$, geht die folgende Polynomdivision mit dem Ergebnis $T(x)$ ohne Rest auf: \begin{eqnarray} (a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0):(x-x_1)=T(x),\quad\mbox{bzw.}\\ (a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0)=(x-x_1)\cdot T(x). \end{eqnarray} Das bedeutet, dass die zu lösende Gleichung äquivalent ist zu \[(x-x_1)\cdot T(x)=0.\] Die Gleichung ist also erfüllt für $x=x_1$, was sowieso schon bekannt ist, oder wenn $T(x)=0$ ist, was bei Auflösen nach $x$ die restlichen Lösungen ergibt.
Beispiel 1:
Um die Gleichung $2x^3-x^2-36x-45=0$ zu lösen, setzen wir für $x$ ganze
Zahlen ein. Dabei ergibt sich, dass $x_1=-3$ wegen
$2(-3)^3-(-3)^2-36(-3)-45=0$ eine Lösung ist. Die Polynomdivision
sieht dann so aus:
\[
\begin{array}{cl}
&(2x³-x²-36x-45):(x+3)=2x²-7x-15\\
-&\underline{(2x³+6x²)}\\
&-7x²-36x-45\\
-&\underline{(-7x²-21x)}\\
&-15x-45\\
-&\underline{(-15x-45)}\\
&0
\end{array}
\]
Die übrigen Lösungen folgen jetzt wie in Quadratische Gleichungen
aus $2x^2-7x-15=0$, und zwar gilt $x_2=5$ und
$x_3=-\frac{3}{2}$.
Beispiel 2:
Wir betrachten noch die Gleichung $4x^3-21x+10=0$. Dabei erraten
wir wieder eine Lösung $x_1=2$, und führen eine Polynomdivision
durch:
\[
\begin{array}{cl}
&(4x³-21x+10):(x-2)=4x²+8x-5\\
-&\underline{(4x³-8x²)}\\
&8x²-21x+10\\
-&\underline{(8x²-16x)}\\
&-5x+10\\
-&\underline{(-5x+10)}\\
&0
\end{array}
\]
Aus $4x^2+8x-5=0$ ergeben sich dann weiter die Lösungen
$x_2=\frac{1}{2}$ und $x_3=-\frac{5}{2}$.
Zur Beschreibung der Lösung wird der sogenannte natürliche Logarithmus verwendet, wobei $\ln{(c)}$ als derjenige Wert definiert ist, der die Eulersche Zahl $e$ so potenziert, dass sich $c$ ergibt. Der natürliche Logarithmus ist also die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion und es gilt \[y=e^x \Leftrightarrow x=\ln{y}\] Tritt die Unbekannte $x$ bei einer Exponentialgleichung in mehreren Exponenten auf, dann substituiere mit $u=e^x$. Alle Terme der Form $e^{ax+b}$ können dabei so mit $u$ ausgedrückt werden: \[e^{ax+b} = e^b\cdot e^{ax} = e^b\cdot( e^{x})^a = e^b\cdot u^a\] Löse dann die Gleichung nach $u$ auf. Ist $u>0$ Lösung der substituierten Gleichung, dann erhältst du mit der Rücksubstitution $x=\ln(u)$ die Lösung der ursprünglichen Gleichung. Für $u\le 0$ ergibt die Rücksubstitution keine Lösung für $x$.
Beispiel 1:
Die Lösung der Gleichung $e^{ax+b}=c$ mit $c> 0$ erhalten wir durch Logarithmieren und
anschließendes Auflösen nach $x$:
\begin{eqnarray}
e^{ax+b}&=&c\\
ax + b &=& \ln(c)\\
x&=&\frac{\ln(c)-b}{a}
\end{eqnarray}
Für $c\leq0$ existiert natürlich auch hier keine Lösung.
Beispiel 2:
Bei der Gleichung $e^{x+1}-e^{x-2}=3$ tritt $x$ in zwei Exponenten auf.
Wir substituieren
deshalb $u=e^x$ und mit $e^{x+1} = e^1\cdot e^x = eu$ bzw. $e^{x-2} = e^{-2}\cdot e^x = e^{-2}u$ folgt:
\begin{eqnarray}
eu-e^{-2}u &=& 3\\
(e-e^{-2})u&=&3\\
u&=&\frac{3}{e-e^{-2}}>0
\end{eqnarray}
Die Rücksubstitution liefert also die Lösung $x=\ln(u)=\ln(\frac{3}{e-e^{-2}})$
Beispiel 3:
Die Exponentialgleichung $6e^{2x} - e^x-1=0$ führt nach der
Substitution $u=e^x$ mit $e^{2x} = (e^{x})^2=u^2$ auf die Gleichung
\[6u^2-u-1=0\]
Diese hat die Lösungen $u_1=\frac{1}{2}$ und $u_2=-\frac{1}{3}$. Aus $u_1$ ergibt sich bei der
Rücksubstitution die Lösung $x=\ln(\frac{1}{2})$ und
wegen $u_2\le0$ gibt es keine weitere Lösung.
Beispiel 4:
Die Gleichung $5e^x-7+2e^{-x}=0$ lösen wir ebenfalls mit Substitution.
Aus $u=e^x$ folgt mit $e^{-x} = (e^x)^{-1}=u^{-1} = \frac{1}{u}$:
\begin{eqnarray}
5u-7+\frac{2}{u}&=&0 \quad|\cdot u\\
5u^2-7u+2&=&0
\end{eqnarray}
Diese quadratische Gleichung hat die Lösungen $u_1=\frac{2}{5}$ und $u_2=1$. Da beide Werte positiv sind,
bekommen wir diesmal zwei Lösungen:
$x_1=\ln(\frac{2}{5})$ und $x_2=\ln(1)=0$
Wenn sich eine Gleichung der Form $f(x)=0$ nicht nach einer der genannten Methoden auflösen lässt, dann gibt es noch die Möglichkeit die gesuchte Lösung $x$ näherungsweise zu ermitteln. Dazu gibt es das Newtonsche Näherungsverfahren. Dieses funktioniert so, dass du ausgehend von einem Startwert $x_0$, den du in die Formel \[x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\] einsetzt, einen ersten Näherungswert $x_1$ erhältst. Diesen setzt du wieder ein und bekommst daraus einen zweiten Näherungswert $x_2$, usw...
Beispiel:
Wir berechnen eine Näherungslösung für die
Gleichung
\[e^x=2-x.\]
Diese muss erst auf die Form $f(x)=0$ gebracht werden:
$e^x+x-2=0$. Dabei ist $f(x)=e^x+x-2$ und $f'(x)=e^x+1$. Die
Näherungsvorschrift ist also gegeben durch
\[x_{n+1}=x_n-\frac{e^{x_n}+x_n-2}{e^{x_n}+1}.\]
Wir berechnen damit jetzt eine Näherungslösung mit dem Startwert
$x_0=1$. Dabei wird das Verfahren abgebrochen, wenn sich die
dritte Stelle hinter dem Komma erstmals nicht mehr ändert.
\begin{eqnarray}
x_1&=&x_0-\frac{e^{x_0}+x_0-2}{e^{x_0}+1}=
1-\frac{e^1+1-2}{e^1+1}\approx 0,5379\\
x_2&=&x_1-\frac{e^{x_1}+x_1-2}{e^{x_1}+1}\approx 0.4456\\
x_3&=&x_2-\frac{e^{x_2}+x_2-2}{e^{x_2}+1}\approx 0,4429\\
x_4&=&x_3-\frac{e^{x_3}+x_3-2}{e^{x_3}+1}\approx 0,4429
\end{eqnarray}
$x=0,443$ ist also eine auf drei Stellen gerundete
Näherungslösung.