Einen Punkt $P$ spiegelst du an einer Ebene $E$, indem du den Lotfußpunkt $L$ der Lotgeraden durch $P$ auf $E$ ausrechnest (vgl. Lotgerade auf eine Ebene durch einen Punkt). Den Spiegelpunkt $P'$ bekommst du durch $\vec{p'}=\vec{p}+2(\vec{l}-\vec{p})$ (Von $P$ zweimal in Richtung von $P$ nach $L$ weitergehen).
Beispiel
$P(7|-3|5)$ soll an $E:6x_1-4x_2+3x_3-8=0$ gespiegelt werden.
Die Lotgerade hat die Gleichung $\vec{x}=
\left(\begin{array}{r}7\\-3\\5\end{array}\right)+
t\left(\begin{array}{r}6\\-4\\3\end{array}\right)$.
Mit $E$ geschnitten gibt das den Lotfußpunkt $L(1|1|2)$. Jetzt
haben wir $P'$:
\[\vec{p'}=\vec{p}+2(\vec{l}-\vec{p})=
\left(\begin{array}{r}7\\-3\\5\end{array}\right)+
2\cdot \left[\left(\begin{array}{r}1\\1\\2\end{array}\right)-
\left(\begin{array}{r}7\\-3\\5\end{array}\right)\right]=
\left(\begin{array}{r}-5\\5\\-1\end{array}\right).\]
Zuerst wird genau das Gleiche gemacht, wie beim Abstand zwischen Punkt und Gerade: Die Normalenform einer Hilfsebene $H$ mit dem Richtungsvektor der Geraden als Normalenvektor und dem gegebenen Punkt als Stützvektor wird aufgestellt, und der Schnittpunkt $S$ von $H$ mit der Geraden berechnet. Jetzt bekommst du den Spiegelpunkt $P'$ von $P$ wie oben durch zweimal Weitergehen von $P$ aus in Richtung von $P$ nach $S$: $\vec{p'}=\vec{p}+2(\vec{s}-\vec{p}).$
Beispiel
$P(-3|3|2)$ wird an der Geraden
$\vec{x}=\left(\begin{array}{r}-9\\1\\3\end{array}\right)
+t\left(\begin{array}{r}1\\3\\-2\end{array}\right)$ gespiegelt.
Die Hilfsebene hat die Gleichung
\[\left(\begin{array}{r}1\\3\\-2\end{array}\right)\bullet
\left[\vec{x}-\left(\begin{array}{r}-3\\3\\2\end{array}\right)
\right]=0\quad\Longleftrightarrow\quad x_1+3x_2-2x_3-2=0.\] $x_1$,
$x_2$ und $x_3$ aus der Geradengleichung in die Koordinatenform
der Hilfsebene eingesetzt ergibt nach $t$ aufgelöst $t=1$ und das
wieder in die Geradengleichung eingesetzt $S(-8|4|1)$ als
Schnittpunkt der Hilfsebene mit der Geraden. Damit steht der
Spiegelpunkt $P'$ fest:
\[\vec{p'}=\vec{p}+2(\vec{s}-\vec{p})=
\left(\begin{array}{r}-3\\3\\2\end{array}\right)+2\cdot
\left[\left(\begin{array}{r}-8\\4\\1\end{array}\right)-
\left(\begin{array}{r}-3\\3\\2\end{array}\right)\right]=
\left(\begin{array}{r}-13\\5\\0\end{array}\right).\]
Die Aufgabe kann zurückgeführt werden auf die Spiegelung von einem Punkt an einer Ebene. du rechnest zuerst den Schnittpunkt $S$ von der Geraden mit der Ebene aus. Dann nimmst du einen Punkt $P$ auf der Geraden, z.B. den Stützvektor oder einen anderen (den du für $\vec{x}$ durch Einsetzen einer beliebigen Zahl für den Parameter $t$ erhältst), der aber verschieden von $S$ sein muss. Die Spiegelgerade ist dann die Gerade, die durch den Spiegelpunkt $P'$ von $P$ und durch $S$ geht (vgl.Gerade durch zwei Punkte).
Beispiel
Wir spiegeln
$g:\vec{x}=\left(\begin{array}{r}4\\-3\\7\end{array}\right)
+t\left(\begin{array}{r}13\\6\\-5\end{array}\right)$
an $E:x_1-2x_2+3x_3-17=0$.
Dazu wird als Erstes der Schnittpunkt $S$ ermittelt: $x_1$, $x_2$
und $x_3$ aus $g$ in $E$ einsetzen und nach $t$ auflösen. Das
Ergebnis $t=1$ wieder in $g$ eingesetzt liefert als Schnittpunkt
$S(17|3|2)$. Wie in Punkt an Ebene kann dann der
Spiegelpunkt $P'$ von z.B. $P(4|-3|7)\in g$ ausgerechnet werden.
Dieser hat die Koordinaten $(2|1|1)$. Also hat die Spiegelgerade
$g'$ beispielsweise die Parameterform
\[g':\vec{x}=\vec{p'}+t(\vec{s}-\vec{p'})=
\left(\begin{array}{r}2\\1\\1\end{array}\right)
+t\left[\left(\begin{array}{r}17\\3\\2\end{array}\right)-
\left(\begin{array}{r}2\\1\\1\end{array}\right)\right]=
\left(\begin{array}{r}2\\1\\1\end{array}\right)
+t\left(\begin{array}{c}15\\2\\1\end{array}\right).\]
Sogar dieses Problem kannst du zurückführen auf die Spiegelung von einem Punkt an einer Ebene. Bestimme zuerst die Schnittgerade $s$ der beiden Ebenen. Dann spiegelst du einen Punkt $P$ auf der zu spiegelnden Ebene (der aber nicht auf der Schnittgeraden liegen darf) an der anderen Ebene und erhältst $P'$. Die Ebene, die $P'$ und $s$ enthält (s. Ebene durch einen Punkt und eine Gerade) ist dann die gesuchte Ebene.
Beispiel
$E_1: -8x_1+11x_2+9x_3-29= 0$
$E_2:2x_1-x_2+3x_3-5= 0\quad\Longleftrightarrow
\quad \vec{x}=\left(\begin{array}{r}0\\-5\\0\end{array}\right)
+s\left(\begin{array}{r}1\\2\\0\end{array}\right)+
t\left(\begin{array}{r}0\\3\\1\end{array}\right) $
Um $E_1$ an $E_2$ zu spiegeln, bestimmen wir zuerst nach
Gerade - Ebene
die Schnittgerade: Einsetzen von $x_1$,
$x_2$ und $x_3$ aus der Parameterform von $E_2$ in $E_1$ und
Auflösen nach $s$ ergibt $s=6-3t$, was wieder in die Parameterform
von $E_2$ eingesetzt die Schnittgerade liefert:
\[\vec{x}=\left(\begin{array}{r}0\\-5\\0\end{array}\right)+
(6-3t)\left(\begin{array}{r}1\\2\\0\end{array}\right)+
t\left(\begin{array}{r}0\\3\\1\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{r}6\\7\\0\end{array}\right)+
t\left(\begin{array}{r}-3\\-3\\1\end{array}\right).\]
Jetzt wählen wir irgendeinen Punkt auf $E_1$, z.B. $P(5|3|4)$ und
rechnen nach Punkt an Ebene den Spiegelpunkt $P'(1|5|-2)$
aus. Damit
hat die Spiegelebene $E_1'$ von $E_1$ die mögliche Parameterform
$\vec{x}=\left(\begin{array}{r}1\\5\\-2\end{array}\right)+
s\left[\left(\begin{array}{r}6\\7\\0\end{array}\right)-
\left(\begin{array}{r}1\\5\\-2\end{array}\right)\right]+
t\left(\begin{array}{r}-3\\-3\\1\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{r}1\\5\\-2\end{array}\right)+
s\left(\begin{array}{r}5\\2\\2\end{array}\right)+
t\left(\begin{array}{r}-3\\-3\\1\end{array}\right).$
Wird die Kugel mit der Gleichung $K:(\vec{x}-\vec{m})^2=r^2$ an einer Ebene gespiegelt, dann hat die gespiegelte Kugel die Gleichung $K':(\vec{x}-\vec{m'})^2=r^2$, wobei $\vec{m'}$ der an der Ebene gespiegelte Mittelpunktvektor $\vec{m}$ ist (vgl. Punkt an Ebene).
Beispiel
Beim Spiegeln von $K:(x_1-1)^2+(x_2+6)^2+(x_3-8)^2=5$ an
$E:3x_1+x_2-7x_3=0$ wird also der Mittelpunkt $M(1|-6|8)$ von $K$ an $E$
gespiegelt, mit dem Ergebnis $M'(7|-4|-6)$.
$K'$ hat dann die Gleichung
$K':(x_1-7)^2+(x_2+4)^2+(x_3+6)^2=5$.